Álgebra | Operaciones con expresiones algebraicas
¡Bienvenido a la sección Operaciones con expresiones algebraicas!
Aquí encontrarás recursos, explicaciones y herramientas diseñadas para ayudarte a comprender y dominar el proceso de operar expresiones algebraicas. Ya sea que estés comenzando a explorar este tema o buscando reforzar tus conocimientos, esta sección te guiará paso a paso con ejemplos claros y ejercicios prácticos.
¡Prepárate para descubrir cómo las operaciones con expresiones algebraicas puede simplificar y fortalecer tu comprensión del álgebra!
3. Multiplicación
3.1. Multiplicación de monomios
3.1. Multiplicación de monomios
Para multiplicar dos o más monomios:
Se multiplican los coeficientes (el signo del producto vendrá dado por la ley de los signos). A continuación de este producto se escriben las letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores.
Recordemos la ley de signos
\[+ \cdot +=+\]
\[+ \cdot -=-\]
\[- \cdot +=-\]
\[- \cdot -=+\]
Ejemplos
1. Resuelve la multiplicación \(\left(2a^{2}\right)\left(3a^{3}\right)\)
Al multiplicar los coeficientes tenemos: \((2)(3)=6\)
Al multiplicar la parte literal se aplica la propiedad de la potenciación que establece que en productos de bases iguales se suman los exponentes: \(\left(a^{2}\right)\left(a^{3}\right)=a^{2+3}=a^{5}\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\left(2a^{2}\right)\left(3a^{3}\right)=6a^{5}\]
2. Resuelve la multiplicación \(\left(-xy^{2}\right)\left(-5mx^{4}y^{3}\right)\)
Se multiplican los coeficientes: \((-1)(-5)=5\)
Se multiplican las partes literales: \((xy^{2})(mx^{4}y^{3})=mx^{1+4}y^{2+3}=mx^{5}y^{5}\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\left(-xy^{2}\right)\left(-5mx^{4}y^{3}\right)=5mx^{5}y^{5} \]
3. Resuelve la multiplicación \(\left(3a^{2}b\right)\left(-4b^{2}x\right)\)
Se multiplican los coeficientes: \((3)(-4)=-12\)
Se multiplican las partes literales: \(\left(a^{2}b\right)\left(b^{2}x\right)=a^{2}b^{1+2}x=a^{2}b^{3}x\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\left(3a^{2}b\right)\left(-4b^{2}x\right)=-12a^{2}b^{3}x \]
4. Resuelve la multiplicación \(\left(-ab^{2}\right)\left(4a^{m}b^{n}c^{3}\right)\)
Se multiplican los coeficientes: \((-1)(4)=-4\)
Se multiplican las partes literales: \(\left(ab^{2}\right)\left(a^{m}b^{n}c^{3}\right)=a^{m+1}b^{n+2}c^{3}\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\left(-ab^{2}\right)\left(4a^{m}b^{n}c^{3}\right)=-4a^{m+1}b^{n+2}c^{3}\]
5. Resuelve la multiplicación \(\left(a^{x+1}b^{x+2}\right)\left(-3a^{x+2}b^{3}\right)\)
Se multiplican los coeficientes: \((1)(-3)=-3\)
Se multiplican las partes literales: \(\left(a^{x+1}b^{x+2}\right)\left(a^{x+2}b^{3}\right)=a^{x+1+x+2}b^{x+2+3}=a^{2x+3}b^{x+5}\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\left(a^{x+1}b^{x+2}\right)\left(-3a^{x+2}b^{3}\right)=-3a^{2x+3}b^{x+5}\]
6. Resuelve la multiplicación \(\left(-a^{m+1}b^{n-2}\right)\left(-4a^{m-2}b^{2n+4}\right)\)
Se multiplican los coeficientes: \((-1)(-4)=4\)
Se multiplican las partes literales: \(\left(a^{m+1}b^{n-2}\right)\left(a^{m-2}b^{2n+4}\right)=a^{m+1+m-2}b^{n-2+2n+4}=a^{2m-1}b^{3n+2}\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\left(-a^{m+1}b^{n-2}\right)\left(-4a^{m-2}b^{2n+4}\right)=4a^{2m-1}b^{3n+2}\]
7. Resuelve la multiplicación \(\left(\frac{2}{3}a^{2}b\right)\left(-\frac{3}{4}a^{3}m\right)\)
Se multiplican los coeficientes: \(\left(\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{3}{4}\right)=-\frac{6}{12}=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}\)
Se multiplican las partes literales: \(\left(a^{2}b\right)\left(a^{3}m\right)=a^{2+3}bm=a^{5}bm\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\left(\frac{2}{3}a^{2}b\right)\left(-\frac{3}{4}a^{3}m\right)=-\frac{1}{2}a^{5}bm\]
8. Resuelve la multiplicación \(\left(-\frac{5}{6}x^{2}y^{3}\right)\left(-\frac{3}{10}x^{m}y^{n+1}\right)\)
Se multiplican los coeficientes: \(\left(-\frac{5}{6}\right)\left(-\frac{3}{10}\right)=\frac{15}{60}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}\)
Se multiplican las partes literales: \(\left(x^{2}y^{3}\right)\left(x^{m}y^{n+1}\right)=x^{m+2}y^{3+n+1}=x^{m+2}y^{n+4}\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\left(-\frac{5}{6}x^{2}y^{3}\right)\left(-\frac{3}{10}x^{m}y^{n+1}\right)=\frac{1}{4}x^{m+2}y^{n+4}\]
9. Resuelve la multiplicación \(\left(2a\right)\left(-3a^{2}b\right)\left(-ab^{3}\right)\)
Se multiplican los coeficientes: \((2)(-3)(-1)=6\)
Se multiplican las partes literales: \(\left(a\right)\left(a^{2}b\right)\left(ab^{3}\right)=a^{1+2+1}b^{1+3}=a^{4}b^{4}\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\left(2a\right)\left(-3a^{2}b\right)\left(-ab^{3}\right)=6a^{4}b^{4}\]
10. Resuelve la multiplicación \(\left(-x^{2}y\right)\left(-\frac{2}{3}x^{m}\right)\left(-\frac{3}{4}a^{2}y^{n}\right)\)
Se multiplican los coeficientes: \((-1)(-\frac{2}{3})(-\frac{3}{4})=-\frac{6}{12}=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}\)
Se multiplican las partes literales: \(\left(x^{2}y\right)\left(x^{m}\right)\left(a^{2}y^{n}\right)=a^{2}x^{m+2}y^{n+1}\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\left(-x^{2}y\right)\left(-\frac{2}{3}x^{m}\right)\left(-\frac{3}{4}a^{2}y^{n}\right)=-\frac{1}{2}a^{2}x^{m+2}y^{n+1}\]
Videos explicativos
Ejercicios
Resuelve las siguientes multiplicaciones:
\[\left(ab\right)\left(-ab\right)\]
\[\left(2x^{2}\right)\left(-3x\right)\]
\[\left(-4a^{2}b\right)\left(-ab^{2}\right)\]
\[\left(-5x^{3}y\right)\left(xy^{2}\right)\]
\[\left(a^{2}b^{3}\right)\left(3a^{2}x\right)\]
\[\left(-4m^{2}\right)\left(-5mn^{2}p\right)\]
\[\left(5a^{2}y\right)\left(-6x^{2}\right)\]
\[\left(-x^{2}y^{3}\right)\left(-4y^{3}z^{4}\right)\]
\[\left(abc\right)\left(cd\right)\]
\[\left(-15x^{4}y^{3}\right)\left(-16a^{2}x^{3}\right)\]
\[\left(3a^{2}b^{3}\right)\left(-4x^{2}y\right)\]
\[\left(3a^{2}bx\right)\left(7b^{3}x^{5}\right)\]
\[\left(-8m^{2}n^{3}\right)\left(-9a^{2}mx^{4}\right)\]
\[\left(a^{m}b^{n}\right)\left(-ab\right)\]
\[\left(-5a^{m}b^{n}\right)\left(-6a^{2}b^{3}x\right)\]
\[\left(cx^{m}y^{n}\right)\left(-c^{x}x^{m}y^{n}\right)\]
\[\left(-m^{x}n^{a}\right)\left(-6m^{2}n\right)\]
\[\left(a^{m}\right)\left(a^{m+1}\right)\]
\[\left(-x^{a}\right)\left(-x^{a+2}\right)\]
\[\left(4a^{n}b^{x}\right)\left(-ab^{x+1}\right)\]
\[\left(-a^{n+1}b^{n+2}\right)\left(a^{n+2}b^{n}\right)\]
\[\left(-3a^{n+4}b^{n+1}\right)\left(-4a^{n+2}b^{n+3}\right)\]
\[\left(3x^{2}y^{3}\right)\left(4x^{m+1}y^{m+2}\right)\]
\[\left(4x^{a+2}b^{a+4}\right)\left(-5x^{a+5}b^{a+1}\right)\]
\[\left(a^{m}b^{n}c\right)\left(-a^{m}b^{2n}\right)\]
\[\left(-x^{m+1}y^{a+2}\right)\left(-4x^{m-3}y^{a-5}c^{2}\right)\]
\[\left(-5m^{a}n^{b-1}c\right)\left(-7m^{2a-3}n^{b-4}\right)\]
\[\left(\frac{1}{2}a^{2}\right)\left(\frac{4}{5}a^{3}b\right)\]
\[\left(-\frac{3}{7}m^{2}n\right)\left(-\frac{7}{14}a^{2}m^{3}\right)\]
\[\left(\frac{2}{3}x^{2}y^{3}\right)\left(-\frac{3}{5}a^{2}x^{4}y\right)\]
\[\left(-\frac{1}{8}m^{3}n^{4}\right)\left(-\frac{4}{5}a^{3}m^{2}n\right)\]
\[\left(-\frac{7}{8}abc\right)\left(\frac{2}{7}a^{3}\right)\]
\[\left(-\frac{3}{5}x^{3}y^{4}\right)\left(-\frac{5}{6}a^{2}by^{5}\right)\]
\[\left(\frac{1}{3}a\right)\left(\frac{3}{5}a^{m}\right)\]
\[\left(-\frac{3}{4}a^{m}\right)\left(-\frac{2}{5}ab^{3}\right)\]
\[\left(\frac{5}{6}a^{m}b^{n}\right)\left(-\frac{3}{10}ab^{2}c\right)\]
\[\left(-\frac{2}{9}a^{x}b^{m+1}\right)\left(-\frac{3}{5}a^{x-1}b^{m}\right)\]
\[\left(\frac{3}{8}a^{m}b^{n}\right)\left(-\frac{4}{5}a^{2m}b^{n}\right)\]
\[\left(-\frac{2}{11}a^{x+1}b^{x-3}c^{2}\right)\left(-\frac{44}{7}a^{x-3}b^{2}\right)\]
\[\left(a\right)\left(-3a\right)\left(a^{2}\right)\]
\[\left(3x^{2}\right)\left(-x^{3}y\right)\left(-a^{2}x\right)\]
\[\left(-m^{2}n\right)\left(-3m^{2}\right)\left(-5mn^{3}\right)\]
\[\left(4a^{2}\right)\left(-5a^{3}x^{2}\right)\left(-ay^{2}\right)\]
\[\left(-a^{m}\right)\left(-2ab\right)\left(-3a^{2}b^{x}\right)\]
\[\left(\frac{1}{2}x^{3}\right)\left(-\frac{2}{3}a^{2}x\right)\left(-\frac{3}{5}a^{4}m\right)\]
\[\left(\frac{2}{3}a^{m}\right)\left(\frac{3}{4}a^{2}b^{4}\right)\left(-3a^{4}b^{x+1}\right)\]
\[\left(-\frac{3}{5}m^{3}\right)\left(-5a^{2}m\right)\left(-\frac{1}{10}a^{x}m^{a}\right)\]
\[\left(2a\right)\left(-a^{2}\right)\left(-3a^{3}\right)\left(4a\right)\]
\[\left(-3b^{2}\right)\left(-4a^{3}b\right)\left(ab\right)\left(-5a^{2}x\right)\]
\[\left(a^{m}b^{x}\right)\left(-a^{2}\right)\left(-2ab\right)\left(-3a^{2}x\right)\]
\[\left(-\frac{1}{2}x^{2}y\right)\left(-\frac{3}{5}xy^{2}\right)\left(-\frac{10}{3}x^{3}\right)\left(-\frac{3}{4}x^{2}y\right)\]
3. Multiplicación
3.2. Multiplicación de un monomio por un polinomio
3.2. Multiplicación de un monomio por un polinomio
Para multiplicar un monomio por un polinomio, multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos, y se separan los productos parciales con sus propios signos.
Esta es la ley distributiva de la multiplicación.
Ejemplos
1. Resuelve la multiplicación \(\left(4ax^{2}\right)\left(3x^{2}-6x+7\right)\)
Se multiplica el monomio por el primer término del polinomio: \(\left(4ax^{2}\right)\left(3x^{2}\right)=12ax^{4}\)
Se multiplica el monomio por el segundo término del polinomio: \(\left(4ax^{2}\right)\left(-6x\right)=-24ax^{3}\)
Se multiplica el monomio por el tercer término del polinomio: \(\left(4ax^{2}\right)\left(7\right)=28ax^{2}\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\left(4ax^{2}\right)\left(3x^{2}-6x+7\right)=12ax^{4}-24ax^{3}+28ax^{2}\]
2. Resuelve la multiplicación \(\left(-2a^{2}x\right)\left(a^{3}x-4a^{2}x^{2}+5ax^{3}-x^{4}\right)\)
Se multiplica el monomio por el primer término del polinomio: \(\left(-2a^{2}x\right)\left(a^{3}x\right)=-2a^{5}x^{2}\)
Se multiplica el monomio por el segundo término del polinomio: \(\left(-2a^{2}x\right)\left(-4a^{2}x^{2}\right)=8a^{4}x^{3}\)
Se multiplica el monomio por el tercer término del polinomio: \(\left(-2a^{2}x\right)\left(5ax^{3}\right)=-10a^{3}x^{4}\)
Se multiplica el monomio por el cuarto término del polinomio: \(\left(-2a^{2}x\right)\left(-x^{4}\right)=2a^{2}x^{5}\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\left(-2a^{2}x\right)\left(a^{3}x-4a^{2}x^{2}+5ax^{3}-x^{4}\right)=-2a^{5}x^{2}+8a^{4}x^{3}-10a^{3}x^{4}+2a^{2}x^{5}\]
3. Resuelve la multiplicación \(\left(-3x^{2}y^{m}\right)\left(x^{a+1}y-3x^{a}y^{2}+2x^{a-1}y^{3}-x^{a-2}y^{4}\right)\)
Se multiplica el monomio por el primer término del polinomio: \(\left(-3x^{2}y^{m}\right)\left(x^{a+1}y\right)=-3x^{a+3}y^{m+1}\)
Se multiplica el monomio por el segundo término del polinomio: \(\left(-3x^{2}y^{m}\right)\left(-3x^{a}y^{2}\right)=9x^{a+2}y^{m+2}\)
Se multiplica el monomio por el tercer término del polinomio: \(\left(-3x^{2}y^{m}\right)\left(2x^{a-1}y^{3}\right)=-6x^{a+1}y^{m+3}\)
Se multiplica el monomio por el cuarto término del polinomio: \(\left(-3x^{2}y^{m}\right)\left(-x^{a-2}y^{4}\right)=3x^{a}y^{m+4}\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\begin{aligned} &\left(-3x^{2}y^{m}\right)\left(x^{a+1}y-3x^{a}y^{2}+2x^{a-1}y^{3}-x^{a-2}y^{4}\right) \\ &=-3x^{a+3}y^{m+1}+9x^{a+2}y^{m+2}-6x^{a+1}y^{m+3}+3x^{a}y^{m+4} \end{aligned}\]
4. Resuelve la multiplicación \(\left(-\frac{2}{9}a^{2}x^{3}y^{2}\right)\left(\frac{2}{3}x^{4}y^{2}-\frac{3}{5}x^{2}y^{4}+\frac{5}{6}y^{6}\right)\)
Se multiplica el monomio por el primer término del polinomio: \(\left(-\frac{2}{9}a^{2}x^{3}y^{2}\right)\left(\frac{2}{3}x^{4}y^{2}\right)=-\frac{4}{27}a^{2}x^{7}y^{4}\)
Se multiplica el monomio por el segundo término del polinomio: \(\left(-\frac{2}{9}a^{2}x^{3}y^{2}\right)\left(-\frac{3}{5}x^{2}y^{4}\right)=\frac{\color{var(--algebra)}\cancel{6}}{\color{var(--algebra)}\cancel{45}}a^{2}x^{5}y^{6}=\frac{2}{15}a^{2}x^{5}y^{6}\)
Se multiplica el monomio por el tercer término del polinomio: \(\left(-\frac{2}{9}a^{2}x^{3}y^{2}\right)\left(\frac{5}{6}y^{6}\right)=-\frac{\color{var(--algebra)}\cancel{10}}{\color{var(--algebra)}\cancel{54}}a^{2}x^{3}y^{8}=-\frac{5}{27}a^{2}x^{3}y^{8}\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\begin{aligned} &\left(-\frac{2}{9}a^{2}x^{3}y^{2}\right)\left(\frac{2}{3}x^{4}y^{2}-\frac{3}{5}x^{2}y^{4}+\frac{5}{6}y^{6}\right) \\ &=-\frac{4}{27}a^{2}x^{7}y^{4}+\frac{2}{15}a^{2}x^{5}y^{6}-\frac{5}{27}a^{2}x^{3}y^{8} \end{aligned}\]
Videos explicativos
Ejercicios
Resuelve las siguientes multiplicaciones:
\[-2x\left(3x^{3}-x^{2}\right)\]
\[2ax^{3}\left(8x^{2}y-3y^{2}\right)\]
\[-2x\left(x^{2}-4x+3\right)\]
\[3ab\left(a^{3}-a^{2}+6a\right)\]
\[-ab\left(a^{2}-2ab+b^{2}\right)\]
\[3a^{2}x^{2}\left(x^{5}-6x^{3}-8x\right)\]
\[-4m^{3}x\left(m^{4}-3m^{2}n^{2}+7n^{4}\right)\]
\[ax^{3}y\left(x^{3}-4x^{2}y+6xy^{2}\right)\]
\[-4a^{4}m^{2}\left(a^{3}-5a^{2}b-8ab^{2}\right)\]
\[-2a\left(a^{m}-a^{m-1}+a^{m-2}\right)\]
\[3x^{2m}\left(x^{m+1}+3x^{m}-x^{m-1}\right)\]
\[3a^{2}b\left(a^{m}b^{n}+a^{m-1}b^{n+1}-a^{m-2}b^{n+2}\right)\]
\[-4x^{2}\left(x^{3}-3x^{2}+5x-6\right)\]
\[3bx^{3}\left(a^{4}-6a^{3}x+9a^{2}x^{2}-8\right)\]
\[-a^{n}x^{2}\left(a^{n+3}-3a^{n+2}-4a^{n+1}-a^{n}\right)\]
\[-3a^{2}x^{3}\left(x^{4}-6x^{3}+8x^{2}-7x+5\right)\]
\[5a^{2}xy^{2}\left(-3x^{3}+5x^{2}y-7xy^{2}-4y^{3}\right)\]
\[-2x^{2}\left(x^{a+5}-3x^{a+4}+x^{a+3}-5x^{a+1}\right)\]
\[-5a^{3}y^{2}\left(a^{8}-3a^{6}b^{2}+a^{4}b^{4}-3a^{2}b^{6}+b^{8}\right)\]
\[4a^{m}b^{3}\left(a^{m}b^{n}+3a^{m-1}b^{n+2}-a^{m-2}b^{n+4}+a^{m-3}b^{n+6}\right)\]
\[\frac{2}{5}a^{2}\left(\frac{1}{2}a-\frac{2}{3}b\right)\]
\[-\frac{2}{3}a^{3}b\left(\frac{2}{3}a-\frac{3}{4}b\right)\]
\[-\frac{5}{3}ac^{2}\left(\frac{3}{5}a-\frac{1}{6}b+\frac{2}{5}c\right)\]
\[3a^{2}x\left(\frac{2}{5}a^{2}+\frac{1}{3}ab-\frac{2}{9}b^{2}\right)\]
\[\frac{3}{2}y^{3}\left(\frac{1}{3}x^{2}-\frac{2}{5}xy-\frac{1}{4}y^{2}\right)\]
\[-\frac{3}{10}a^{2}x^{3}\left(3a-5b+6c\right)\]
\[\frac{3}{7}x^{3}y^{4}\left(\frac{2}{9}x^{4}-x^{2}y^{2}+\frac{1}{3}y^{4}\right)\]
\[-\frac{5}{8}a^{2}m\left(\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{3}b^{2}+\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{5}y^{2}\right)\]
\[\frac{3}{4}m^{2}n^{3}\left(\frac{2}{3}m^{3}+\frac{1}{2}m^{2}n-\frac{5}{6}mn^{2}-\frac{1}{9}n^{3}\right)\]
\[-\frac{5}{7}a^{3}x^{4}y^{3}\left(\frac{2}{5}x^{6}-\frac{1}{3}x^{4}y^{2}+\frac{3}{5}x^{2}y^{4}-\frac{1}{10}y^{6}\right)\]
3. Multiplicación
3.3. Multiplicación de polinomios
3.3. Multiplicación de polinomios
Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada uno de los términos del primer factor por todos los términos del segundo factor, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos. Al final, se reducen términos semejantes.
Esta es la ley distributiva de la multiplicación.
Ejemplos
1. Resuelve la multiplicación \(\left(a-4\right)\left(3+a\right)\)
Se multiplica el primer término del primer factor por el segundo factor: \(\left(a\right)\left(3+a\right)=3a+a^{2}\)
Se multiplica el segundo término del primer factor por el segundo factor: \(\left(-4\right)\left(3+a\right)=-12-4a\)
Por lo tanto, se tiene que: \(\left(a-4\right)\left(3+a\right)=3a+a^{2}-12-4a\)
Y al reducir términos semejantes, se obtiene que:
\[\left(a-4\right)\left(3+a\right)=a^{2}-a-12\]
2. Resuelve la multiplicación \(\left(4x-3y\right)\left(-2y+5x\right)\)
Se multiplica el primer término del primer factor por el segundo factor: \(\left(4x\right)\left(-2y+5x\right)=-8xy+20x^{2}\)
Se multiplica el segundo término del primer factor por el segundo factor: \(\left(-3y\right)\left(-2y+5x\right)=6y^{2}-15xy\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\begin{aligned} \left(4x-3y\right)\left(-2y+5x\right) &=-8xy+20x^{2}+6y^{2}-15xy \\ &=20x^{2}-23xy+6y^{2} \end{aligned}\]
3. Resuelve la multiplicación \(\left(a+1\right)\left(2+a^{2}-2a-a^{3}\right)\)
Se multiplica el primer término del primer factor por el segundo factor: \(\left(a\right)\left(2+a^{2}-2a-a^{3}\right)=2a+a^{3}-2a^{2}-a^{4}\)
Se multiplica el segundo término del primer factor por el segundo factor: \(\left(1\right)\left(2+a^{2}-2a-a^{3}\right)=2+a^{2}-2a-a^{3}\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\begin{aligned} &\left(a+1\right)\left(2+a^{2}-2a-a^{3}\right) \\ &=2a+a^{3}-2a^{2}-a^{4}+2+a^{2}-2a-a^{3} \\ &=-a^{4}-a^{2}+2 \end{aligned}\]
4. Resuelve la multiplicación \(\left(6y^{2}+2x^{2}-5xy\right)\left(3x^{2}-4y^{2}+2xy\right)\)
Se multiplica el primer término del primer factor por el segundo factor: \(\left(6y^{2}\right)\left(3x^{2}-4y^{2}+2xy\right)=18x^{2}y^{2}-24y^{4}+12xy^{3}\)
Se multiplica el segundo término del primer factor por el segundo factor: \(\left(2x^{2}\right)\left(3x^{2}-4y^{2}+2xy\right)=6x^{4}-8x^{2}y^{2}+4x^{3}y\)
Se multiplica el tercer término del primer factor por el segundo factor: \(\left(-5xy\right)\left(3x^{2}-4y^{2}+2xy\right)=-15x^{3}y+20xy^{3}-10x^{2}y^{2}\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\begin{aligned} &\left(6y^{2}+2x^{2}-5xy\right)\left(3x^{2}-4y^{2}+2xy\right) \\ &={\color{var(--algebra)}18x^{2}y^{2}}-24y^{4}{\color{var(--calculo)}+12xy^{3}}+6x^{4}{\color{var(--algebra)}-8x^{2}y^{2}}{\color{var(--geometria)}+4x^{3}y-15x^{3}y}{\color{var(--calculo)}+20xy^{3}}{\color{var(--algebra)}-10x^{2}y^{2}} \\ &=6x^{4}-11x^{3}y+32xy^{3}-24y^{4} \end{aligned}\]
5. Resuelve la multiplicación \(\left(x^{3}-1+4x^{2}\right)\left(x-4x^{2}+x^{3}-3\right)\)
Solución:
\[\begin{aligned} &\left(x^{3}-1+4x^{2}\right)\left(x-4x^{2}+x^{3}-3\right) \\ &=x^{4}-4x^{5}+x^{6}-3x^{3}-x+4x^{2}-x^{3}+3+4x^{3}-16x^{4}+4x^{5}-12x^{2} \\ &=x^{6}-15x^{4}-8x^{2}-x+3 \end{aligned}\]
6. Resuelve la multiplicación \(\left(2x-y+3z\right)\left(x-3y-4z\right)\)
Solución:
\[\begin{aligned} &\left(2x-y+3z\right)\left(x-3y-4z\right) \\ &=2x^{2}-6xy-8xz-xy+3y^{2}+4yz+3xz-9yz-12z^{2} \\ &=2x^{2}-7xy-5xz+3y^{2}-5yz-12z^{2} \end{aligned}\]
Videos explicativos
Ejercicios
Resuelve las siguientes multiplicaciones:
\[\left(x-y\right)\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)\]
\[\left(a-b\right)\left(a^{2}+b^{2}-2ab\right)\]
\[\left(a+b\right)\left(a^{2}+b^{2}+2ab\right)\]
\[\left(x+3\right)\left(x^{3}-3x^{2}+1\right)\]
\[\left(a-1\right)\left(a^{3}-a+a^{2}\right)\]
\[\left(m^{2}-n^{2}\right)\left(m^{4}+m^{2}n^{2}+n^{4}\right)\]
\[\left(2x+3\right)\left(x^{3}-2x^{2}+3x-1\right)\]
\[\left(y^{2}+2\right)\left(3y^{3}+5-6y\right)\]
\[\left(am+a\right)\left(m^{3}-m^{2}+m-2\right)\]
\[\left(4a-5b\right)\left(3a^{2}-5ab+2b^{2}\right)\]
\[\left(3m-n\right)\left(5m^{4}-3m^{2}n^{2}+n^{4}\right)\]
\[\left(a^{2}-a-1\right)\left(a^{2}+a+1\right)\]
\[\left(x^{2}-2x+5\right)\left(x^{3}+2x^{2}-x\right)\]
\[\left(m^{2}-2mn-8n^{2}\right)\left(m^{3}-3m^{2}n+2mn^{2}\right)\]
\[\left(x^{2}-x-1\right)\left(x^{2}+1+x\right)\]
\[\left(x^{2}-2x+3\right)\left(2-3x^{2}+x^{4}\right)\]
\[\left(m^{3}+1\right)\left(m^{3}-4m+m^{2}-1\right)\]
\[\left(a^{2}-a+5\right)\left(a^{3}-5a+2\right)\]
\[\left(xy-x^{2}+3y^{2}\right)\left(x^{2}-2xy+y^{2}\right)\]
\[\left(n^{2}-1\right)\left(n^{2}-2n+1\right)\]
\[\left(a^{2}b-2ab^{2}-10b^{3}\right)\left(a^{3}-3a^{2}b+4ab^{2}\right)\]
\[\left(2x+3y\right)\left(8x^{3}-9y^{3}+6xy^{2}-12x^{2}y\right)\]
\[\left(2y+5\right)\left(2y^{3}+y-3y^{2}-4\right)\]
\[\left(2a^{2}-x^{2}-3ax\right)\left(3x^{3}-a^{3}+2ax^{2}\right)\]
\[\left(-y^{2}-xy-x^{2}\right)\left(x^{4}-3x^{3}y+2x^{2}y^{2}+xy^{3}\right)\]
\[\left(a^{3}-2a-7\right)\left(2a-5a^{2}+a^{3}-3\right)\]
\[\left(m^{2}-2m+3\right)\left(m^{4}+3-m^{2}+m^{3}\right)\]
\[\left(a^{2}-2ab+b^{2}\right)\left(a^{4}-3a^{2}b^{2}+a^{3}b-ab^{3}+b^{4}\right)\]
\[\left(x^{2}-2y^{2}+xy\right)\left(x^{4}-x^{3}y+x^{2}y^{2}-xy^{3}+y^{4}\right)\]
\[\left(y^{4}-2y^{2}+2\right)\left(y^{2}-2y+1\right)\]
\[\left(3m^{3}-2m+1\right)\left(m^{4}-3m^{2}+4\right)\]
\[\left(a^{2}+a^{3}-2a-1\right)\left(a^{3}-a+a^{2}+1\right)\]
\[\left(3x^{2}+4y^{2}-2xy\right)\left(8x^{3}-12x^{2}y-6xy^{2}+y^{3}\right)\]
\[\left(a^{4}-2a^{2}+2\right)\left(5a^{4}-3a+2a^{2}-4a^{3}-1\right)\]
\[\left(x^{3}-2x^{2}+3x+6\right)\left(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\right)\]
\[\left(a^{2}+a^{3}-2a+1\right)\left(3a^{3}-5a+2a^{2}-4\right)\]
\[\left(y^{4}-3y^{2}-1\right)\left(5y^{4}-3y^{3}+4y^{2}+2y\right)\]
\[\left(n^{3}-5mn^{2}+3m^{2}n-m^{3}\right)\left(m^{4}-2m^{3}n+3m^{2}n^{2}-4n^{4}\right)\]
\[\left(x^{5}-2x^{3}y^{2}+3xy^{4}\right)\left(x^{6}-3x^{4}y^{2}-x^{2}y^{4}+y^{6}\right)\]
\[\left(a^{4}-3a^{2}+4a-5\right)\left(3a^{5}-6a^{3}+2a^{2}-3a+2\right)\]
\[\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\]
\[\left(x+2y-z\right)\left(x-y+z\right)\]
\[\left(2x-3y+5z\right)\left(y+2z-x\right)\]
\[\left(x+y+z\right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-xz-yz\right)\]
4. Productos Notables
Definición
Definición
Se llaman Productos Notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin resolver la multiplicación paso a paso.
Se resaltan los siguientes:
Cuadrado de un binomio
Producto de binomios conjugados (suma por diferencia)
Cubo de un binomio
Binomios con término común, es decir de la forma \(\left(x+a\right)\left(x+b\right)\)
4. Productos Notables
4.1. Cuadrado de un binomio
4.1. Cuadrado de un binomio
Se presentan dos casos:
4.1.1. Cuadrado de la suma de dos cantidades
Elevar al cuadrado \(a+b\) equivale a multiplicar este binomio por sí mismo y tendremos:
\[\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\]
Porque:
\[\begin{aligned} \left(a+b\right)^2 &=\left(a+b\right)\left(a+b\right) \\ &=a^{2}+ab+ab+b^{2} \\ &=a^{2}+2ab+b^{2} \end{aligned}\]
Por lo tanto, el cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
4.1.2. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
Elevar al cuadrado \(a-b\) equivale a multiplicar este binomio por sí mismo y tendremos:
\[\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\]
Porque:
\[\begin{aligned} \left(a-b\right)^2 &=\left(a-b\right)\left(a-b\right) \\ &=a^{2}-ab-ab+b^{2} \\ &=a^{2}-2ab+b^{2} \end{aligned}\]
Por lo tanto, el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
En resumen, se tiene para el cuadrado de un binomio:
\[\left(a \pm b\right)^2=a^{2} \pm 2ab+b^{2}\]
Ejemplos
1. Resuelve \(\left(x+4\right)^{2}\)
Cuadrado de la primera cantidad: \(\left(x\right)^{2}=x^{2}\)
Doble producto entre las dos cantidades: \(2\left(x\right)\left(4\right)=8x\)
Cuadrado de la segunda cantidad: \(\left(4\right)^{2}=16\)
Por lo tanto, tenemos:
\[\left(x+4\right)^{2}=x^{2}+8x+16\]
2. Resuelve \(\left(4a+5b^{2}\right)^{2}\)
Cuadrado de la primera cantidad: \(\left(4a\right)^{2}=16a^{2}\)
Doble producto entre las dos cantidades: \(2\left(4a\right)\left(5b^{2}\right)=40ab^{2}\)
Cuadrado de la segunda cantidad: \(\left(5b^{2}\right)^{2}=25b^{4}\)
Por lo tanto, tenemos:
\[\left(4a+5b^{2}\right)^{2}=16a^{2}+40ab^{2}+25b^{4}\]
3. Resuelve \(\left(3a^{2}+5x^{3}\right)^{2}\)
\[\left(3a^{2}+5x^{3}\right)^{2}=9a^{4}+30a^{2}x^{3}+25x^{6}\]
4. Resuelve \(\left(7ax^{4}+9y^{5}\right)^{2}\)
\[\left(7ax^{4}+9y^{5}\right)^{2}=49ax^{4}+126ax^{4}y^{5}+81x^{10}\]
5. Resuelve \(\left(x-5\right)^{2}\)
\[\left(x-5\right)^{2}=x^{2}-10x+25\]
6. Resuelve \(\left(4a^{2}-3b^{3}\right)^{2}\)
\[\left(4a^{2}-3b^{3}\right)^{2}=16a^{4}-24a^{2}b^{3}+9b^{6}\]
Videos explicativos
Ejercicios
Resuelve usando productos notables:
\[\left(m+3\right)^{2}\]
\[\left(5+x\right)^{2}\]
\[\left(6a+b\right)^{2}\]
\[\left(9+4m\right)^{2}\]
\[\left(7x+11\right)^{2}\]
\[\left(x+y\right)^{2}\]
\[\left(1+3x^{2}\right)^{2}\]
\[\left(2x+3y\right)^{2}\]
\[\left(a^{2}x+by^{2}\right)^{2}\]
\[\left(3a^{3}+8b^{4}\right)^{2}\]
\[\left(4m^{5}+5n^{6}\right)^{2}\]
\[\left(7a^{2}b^{3}+5x^{4}\right)^{2}\]
\[\left(4ab^{2}+5xy^{3}\right)^{2}\]
\[\left(8x^{2}y+9m^{3}\right)^{2}\]
\[\left(x^{10}+10y^{12}\right)^{2}\]
\[\left(a^{m}+a^{n}\right)^{2}\]
\[\left(a^{x}+b^{x+1}\right)^{2}\]
\[\left(x^{a+1}+y^{x-2}\right)^{2}\]
\[\left(a-3\right)^{2}\]
\[\left(x-7\right)^{2}\]
\[\left(9-a\right)^{2}\]
\[\left(2a-3b\right)^{2}\]
\[\left(4ax-1\right)^{2}\]
\[\left(a^{3}-b^{3}\right)^{2}\]
\[\left(3a^{4}-5b^{2}\right)^{2}\]
\[\left(x^{2}-1\right)^{2}\]
\[\left(x^{5}-3ay^{2}\right)^{2}\]
\[\left(a^{7}-b^{7}\right)^{2}\]
\[\left(2m-3n\right)^{2}\]
\[\left(10x^{3}-9xy^{5}\right)^{2}\]
\[\left(x^{m}-y^{n}\right)^{2}\]
\[\left(a^{x-2}-5\right)^{2}\]
\[\left(x^{a+1}-3x^{a-2}\right)^{2}\]
4. Productos Notables
4.2. Producto de binomios conjugados
4.2. Producto de binomios conjugados
Al resolver \(\left(a+b\right)\left(a-b\right)\) tendremos:
\[\left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^{2}-b^{2}\]
Porque:
\[\begin{aligned} \left(a+b\right)\left(a-b\right) &=a^{2}-ab+ab-b^{2} \\ &=a^{2}-b^{2} \end{aligned}\]
Por lo tanto, la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo.
Ejemplos
1. Resuelve \(\left(a+x\right)\left(a-x\right)\)
\[\left(a+x\right)\left(a-x\right)=a^{2}-x^{2}\]
2. Resuelve \(\left(2a+3b\right)\left(2a-3b\right)\)
\[\left(2a+3b\right)\left(2a-3b\right)=4a^{2}-9b^{2}\]
3. Resuelve \(\left(5a^{n+1}+3a^{m}\right)\left(5a^{n+1}-3a^{m}\right)\)
\[\left(5a^{n+1}+3a^{m}\right)\left(5a^{n+1}-3a^{m}\right)=25a^{2n+2}-9a^{2m}\]
4. Resuelve \(\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\)
\[\begin{aligned} \left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right) &=\left[\left(a+b\right)+c\right]\left[\left(a+b\right)-c\right] \\ &=\left(a+b\right)^{2}-c^{2} \\ &=a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2} \end{aligned}\]
5. Resuelve \(\left(a+b+c\right)\left(a-b-c\right)\)
\[\begin{aligned} \left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right) &=\left[a+\left(b+c\right)\right]\left[a-\left(b+c\right)\right] \\ &=a^{2}-\left(b+c\right)^{2} \\ &=a^{2}-\left(b^{2}+2bc+c^{2}\right) \\ &=a^{2}-b^{2}-2bc-c^{2} \end{aligned}\]
6. Resuelve \(\left(2x+3y-4z\right)\left(2x-3y+4z\right)\)
\[\begin{aligned} \left(2x+3y-4z\right)\left(2x-3y+4z\right) &=\left[2x+\left(3y-4z\right)\right]\left[2x-\left(3y-4z\right)\right] \\ &=4x^{2}-\left(3y-4z\right)^{2} \\ &=4x^{2}-\left(9y^{2}-24yz+16z^{2}\right) \\ &=4x^{2}-9y^{2}+24yz-16z^{2} \end{aligned}\]
Videos explicativos
Ejercicios
Resuelve usando productos notables:
\[\left(x+y\right)\left(x-y\right)\]
\[\left(m-n\right)\left(m+n\right)\]
\[\left(a-x\right)\left(x+a\right)\]
\[\left(x^{2}+a^{2}\right)\left(x^{2}-a^{2}\right)\]
\[\left(2a-1\right)\left(1+2a\right)\]
\[\left(n-1\right)\left(n+1\right)\]
\[\left(1-3ax\right)\left(3ax+1\right)\]
\[\left(2m+9\right)\left(2m-9\right)\]
\[\left(a^{3}-b^{2}\right)\left(a^{3}+b^{2}\right)\]
\[\left(y^{2}-3y\right)\left(y^{2}+3y\right)\]
\[\left(1-8xy\right)\left(8xy+1\right)\]
\[\left(6x^{2}-m^{2}x\right)\left(6x^{2}+m^{2}x\right)\]
\[\left(a^{m}+b^{n}\right)\left(a^{m}-b^{n}\right)\]
\[\left(3x^{a}-5y^{m}\right)\left(5y^{m}+3x^{a}\right)\]
\[\left(a^{x+1}-2b^{x-1}\right)\left(2b^{x-1}+a^{x+1}\right)\]
\[\left(x+y+z\right)\left(x+y-z\right)\]
\[\left(x-y+z\right)\left(x+y-z\right)\]
\[\left(x+y+z\right)\left(x-y-z\right)\]
\[\left(m+n+1\right)\left(m+n-1\right)\]
\[\left(m-n-1\right)\left(m-n+1\right)\]
\[\left(x+y-2\right)\left(x-y+2\right)\]
\[\left(n^{2}+2n+1\right)\left(n^{2}-2n-1\right)\]
\[\left(a^{2}-2a+3\right)\left(a^{2}+2a+3\right)\]
\[\left(m^{2}-m-1\right)\left(m^{2}+m-1\right)\]
\[\left(2a-b-c\right)\left(2a-b+c\right)\]
\[\left(2x+y-z\right)\left(2x-y+z\right)\]
\[\left(x^{2}-5x+6\right)\left(x^{2}+5x-6\right)\]
\[\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)\left(a^{2}+b^{2}+ab\right)\]
\[\left(x^{3}-x^{2}-x\right)\left(x^{3}+x^{2}+x\right)\]
4. Productos Notables
4.3. Cubo de un binomio
4.3. Cubo de un binomio
Se presentan dos casos:
4.3.1. Cubo de la suma de dos cantidades
Elevar al cubo \(a+b\) equivale a multiplicar este binomio por sí mismo 3 veces y tendremos:
\[\left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\]
Porque:
\[\begin{aligned} \left(a+b\right)^3 &=\left(a+b\right)\left(a+b\right)\left(a+b\right) \\ &=\left(a+b\right)\left(a^{2}+2ab+b^{2}\right) \\ &=a^{3}+2a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b+2ab^{2}+b^{3} \\ &=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} \end{aligned}\]
Por lo tanto, el cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triple producto del cuadrado de la primera por la segunda, más el triple producto de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda.
4.3.2. Cubo de la diferencia de dos cantidades
Elevar al cubo \(a-b\) equivale a multiplicar este binomio por sí mismo 3 veces y tendremos:
\[\left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\]
Porque:
\[\begin{aligned} \left(a-b\right)^3 &=\left(a-b\right)\left(a-b\right)\left(a-b\right) \\ &=\left(a-b\right)\left(a^{2}-2ab+b^{2}\right) \\ &=a^{3}-2a^{2}b+ab^{2}-a^{2}b+2ab^{2}-b^{3} \\ &=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} \end{aligned}\]
Por lo tanto, el cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triple producto del cuadrado de la primera por la segunda, más el triple producto de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda.
En resumen, se tiene para el cubo de un binomio:
\[\left(a \pm b\right)^3=a^{3} \pm 3a^{2}b+3ab^{2} \pm b^{3}\]
Ejemplos
1. Resuelve \(\left(a+1\right)^{3}\)
\[\begin{aligned} \left(a+1\right)^3 &=\left(a\right)^{3}+3\left(a\right)^{2}\left(1\right)+3\left(a\right)\left(1\right)^{2}+\left(1\right)^{3} \\ &=a^{3}+3a^{2}+3a+1 \end{aligned}\]
2. Resuelve \(\left(x-2\right)^{3}\)
\[\begin{aligned} \left(x-2\right)^3 &=\left(x\right)^{3}-3\left(x\right)^{2}\left(2\right)+3\left(x\right)\left(2\right)^{2}-\left(2\right)^{3} \\ &=x^{3}-6x^{2}+12x-8 \end{aligned}\]
3. Resuelve \(\left(4x+5\right)^{3}\)
\[\begin{aligned} \left(4x+5\right)^3 &=\left(4x\right)^{3}+3\left(4x\right)^{2}\left(5\right)+3\left(4x\right)\left(5\right)^{2}+\left(5\right)^{3} \\ &=64x^{3}+240x^{2}+300x+125 \end{aligned}\]
4. Resuelve \(\left(x^{2}-3y\right)^{3}\)
\[\begin{aligned} \left(x^{2}-3y\right)^3 &=\left(x^{2}\right)^{3}-3\left(x^{2}\right)^{2}\left(3y\right)+3\left(x^{2}\right)\left(3y\right)^{2}-\left(3y\right)^{3} \\ &=x^{6}-9x^{4}y+27x^{2}y^{2}-27y^{3} \end{aligned}\]
Videos explicativos
Ejercicios
Resuelve usando productos notables:
\[\left(a+2\right)^{3}\]
\[\left(x-1\right)^{3}\]
\[\left(m+3\right)^{3}\]
\[\left(n-4\right)^{3}\]
\[\left(2x+1\right)^{3}\]
\[\left(1-3y\right)^{3}\]
\[\left(2+y^{2}\right)^{3}\]
\[\left(1-2n\right)^{3}\]
\[\left(4n+3\right)^{3}\]
\[\left(a^{2}-2b\right)^{3}\]
\[\left(2x+3y\right)^{3}\]
\[\left(1-a^{2}\right)^{3}\]
4. Productos Notables
4.4. Binomios con término común
4.4. Binomios con término común
En el producto de dos binomios con término común, es decir, en el producto de la forma \(\left(x+a\right)\left(x+b\right)\) se cumple que:
El primer término corresponde al producto de los primeros términos de los binomios.
El coeficiente del segundo término del producto es la suma algebraica de los segundos términos de los binomios. La parte literal corresponde al término común.
El tercer término corresponde al producto de los segundos términos de los binomios.
Es decir:
\[\left(x+a\right)\left(x+b\right)=x^{2}+\left(a+b\right)x+ab\]
Ejemplos
1. Resuelve \(\left(x+7\right)\left(x-2\right)\)
Producto de los primeros términos de cada binomio: \(\left(x\right)\left(x\right)=x^{2}\)
Suma de los segundos términos de cada binomio por el término común: \(\left(7-2\right)\left(x\right)=5x\)
Producto de los segundos términos de cada binomio: \(\left(7\right)\left(-2\right)=-14\)
Por lo tanto:
\[\left(x+7\right)\left(x-2\right)=x^{2}+5x-14\]
2. Resuelve \(\left(x-7\right)\left(x-6\right)\)
Producto de los primeros términos de cada binomio: \(\left(x\right)\left(x\right)=x^{2}\)
Suma de los segundos términos de cada binomio por el término común: \(\left(-7-6\right)\left(x\right)=-13x\)
Producto de los segundos términos de cada binomio: \(\left(-7\right)\left(-6\right)=42\)
Por lo tanto:
\[\left(x-7\right)\left(x-6\right)=x^{2}-13x+42\]
3. Resuelve \(\left(a-11\right)\left(a+9\right)\)
\[\left(a-11\right)\left(a+9\right)=a^{2}-2a-99\]
4. Resuelve \(\left(x^{2}+7\right)\left(x^{2}+3\right)\)
\[\left(x^{2}+7\right)\left(x^{2}+3\right)=x^{4}+10x^{2}+21\]
5. Resuelve \(\left(x^{3}-12\right)\left(x^{3}-3\right)\)
\[\left(x^{3}-12\right)\left(x^{3}-3\right)=x^{6}-15x^{3}+36\]
Videos explicativos
Ejercicios
Resuelve usando productos notables:
\[\left(a+1\right)\left(a+2\right)\]
\[\left(x+2\right)\left(x+4\right)\]
\[\left(x+5\right)\left(x-2\right)\]
\[\left(m-6\right)\left(m-5\right)\]
\[\left(x+7\right)\left(x-3\right)\]
\[\left(x+2\right)\left(x-1\right)\]
\[\left(x-3\right)\left(x-1\right)\]
\[\left(x-5\right)\left(x+4\right)\]
\[\left(a-11\right)\left(a+10\right)\]
\[\left(n-19\right)\left(n+10\right)\]
\[\left(a^{2}+5\right)\left(a^{2}-9\right)\]
\[\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}-7\right)\]
\[\left(n^{2}-1\right)\left(n^{2}+20\right)\]
\[\left(n^{3}+3\right)\left(n^{3}-6\right)\]
\[\left(x^{3}+7\right)\left(x^{3}-6\right)\]
\[\left(a^{4}+8\right)\left(a^{4}-1\right)\]
\[\left(a^{5}-2\right)\left(a^{5}+7\right)\]
\[\left(a^{6}+7\right)\left(a^{6}-9\right)\]
\[\left(ab+5\right)\left(ab-6\right)\]
\[\left(xy^{2}-9\right)\left(xy^{2}+12\right)\]
\[\left(a^{2}b^{2}-1\right)\left(a^{2}b^{2}+7\right)\]
\[\left(x^{3}y^{3}-6\right)\left(x^{3}y^{3}+8\right)\]
\[\left(a^{x}-3\right)\left(a^{x}+8\right)\]
\[\left(a^{x+1}-6\right)\left(a^{x+1}-5\right)\]
5. División
5.1. División de monomios
5.1. División de monomios
Para dividir dos monomios:
Se dividen los coeficientes (el signo del cociente vendrá dado por la ley de los signos). En caso de que no se puedan dividir de manera exacta, entonces se simplifica al máximo.
A continuación de este cociente se escriben las letras en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tenga el dividendo y el exponente que tenga el divisor.
Recordemos la ley de signos:
\(+ \div +=+\) porque \(+ \cdot +=+\)
\(- \div -=+\) porque \(+ \cdot -=-\)
\(- \div +=-\) porque \(- \cdot +=-\)
\(+ \div -=-\) porque \(- \cdot -=+\)
Ejemplos
1. Resuelve la división \(4a^{3}b^{2}\div-2ab\)
Al dividir los coeficientes tenemos: \(4\div-2=-2\)
Al dividir la parte literal se aplica la propiedad de la potenciación que establece que en cocientes de bases iguales se restan los exponentes: \(a^{3}b^{2}\div ab=a^{3-1}b^{2-1}=a^{2}b\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\frac{4a^{3}b^{2}}{-2ab}=-2a^{2}b\]
2. Resuelve la división \(-5a^{4}b^{3}c \div -a^{2}b\)
Al dividir los coeficientes tenemos: \(-5 \div -1=5\)
Al dividir la parte literal se aplica la propiedad de la potenciación que establece que en cocientes de bases iguales se restan los exponentes: \(a^{4}b^{3}c\div a^{2}b=a^{4-2}b^{3-1}c=a^{2}b^{2}c\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\frac{-5a^{4}b^{3}c}{-a^{2}b}=5a^{2}b^{2}c\]
3. Resuelve la división \(-20mx^{2}y^{3} \div 4xy^{3}\)
Al dividir los coeficientes tenemos: \(-20 \div 4=-5\)
Al dividir la parte literal se aplica la propiedad de la potenciación que establece que en cocientes de bases iguales se restan los exponentes: \(mx^{2}y^{3}\div xy^{3}=mx^{2-1}y^{3-3}=mx {\color{var(--algebra)}\cancelto{1}{y^{0}}} =mx\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\frac{-20mx^{2}y^{3}}{4xy^{3}}=-5mx\]
4. Resuelve la división \(-x^{m}y^{n}z^{a} \div 3xy^{2}z^{3}\)
Al dividir los coeficientes tenemos: \(-1 \div 3=-\frac{1}{3}\)
Al dividir la parte literal se aplica la propiedad de la potenciación que establece que en cocientes de bases iguales se restan los exponentes: \(x^{m}y^{n}z^{a} \div xy^{2}z^{3}=x^{m-1}y^{n-2}z^{a-3}\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\frac{-x^{m}y^{n}z^{a}}{3xy^{2}z^{3}}=-\frac{1}{3}x^{m-1}y^{n-2}z^{a-3}\]
5. Resuelve la división \(a^{x+3}b^{m+2} \div a^{x+2}b^{m+1}\)
Al dividir los coeficientes tenemos: \(1 \div 1=1\)
Al dividir la parte literal tenemos: \(a^{x+3}b^{m+2} \div a^{x+2}b^{m+1} =a^{x+3-\left(x+2\right)}b^{m+2-\left(m+1\right)}=a^{x+3-x-2}b^{m+2-m-1}=ab\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\frac{a^{x+3}b^{m+2}}{a^{x+2}b^{m+1}}=ab\]
6. Resuelve la división \(-3x^{2a+3}y^{3a-2} \div -5x^{a-4}y^{a-1}\)
Al dividir los coeficientes tenemos: \(-3 \div -5=\frac{3}{5}\)
Se multiplican la parte literal tenemos: \(x^{2a+3}y^{3a-2} \div x^{a-4}y^{a-1} =x^{2a+3-\left(a-4\right)}y^{3a-2-\left(a-1\right)}=x^{2a+3-a+4}y^{3a-2-a+1}=x^{a+7}y^{2a-1}\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\frac{-3x^{2a+3}y^{3a-2}}{-5x^{a-4}y^{a-1}}=\frac{3}{5}x^{a+7}y^{2a-1}\]
7. Resuelve la división \(\frac{2}{3}a^{2}b^{3}c \div -\frac{5}{6}a^{2}bc\)
Al dividir los coeficientes tenemos: \(\frac{2}{3} \div -\frac{5}{6}=-\frac{12}{15}=-\frac{4}{5}\)
Se multiplican la parte literal tenemos: \(a^{2}b^{3}c \div a^{2}bc =a^{2-2}b^{3-1}c^{1-1}={\color{var(--algebra)}\cancelto{1}{a^{0}}} b^{2} {\color{var(--algebra)}\cancelto{1}{c^{0}}} =b^{2}\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\frac{\dfrac{2}{3}a^{2}b^{3}c}{-\dfrac{5}{6}a^{2}bc}=-\frac{4}{5}b^{2}\]
Videos explicativos
Ejercicios
Resuelve las siguientes divisiones:
\[\frac{-5a^{2}}{-a}\]
\[\frac{14a^{3}b^{4}}{-2ab^{2}}\]
\[\frac{-a^{3}b^{4}c}{a^{3}b^{4}}\]
\[\frac{-a^{2}b}{-ab}\]
\[\frac{54x^{2}y^{2}z^{3}}{-6xy^{2}z^{3}}\]
\[\frac{-5m^{2}n}{m^{2}n}\]
\[\frac{-8a^{2}x^{3}}{-8a^{2}x^{3}}\]
\[\frac{-xy^{2}}{2y}\]
\[\frac{5x^{4}y^{5}}{-6x^{4}y}\]
\[\frac{-a^{8}b^{9}c^{4}}{8c^{4}}\]
\[\frac{16m^{6}n^{4}}{-5n^{3}}\]
\[\frac{-108a^{7}b^{6}c^{8}}{-20b^{6}c^{8}}\]
\[\frac{-2m^{2}n^{6}}{-3mn^{6}}\]
\[\frac{a^{x}}{a^{2}}\]
\[\frac{-3a^{x}b^{m}}{ab^{2}}\]
\[\frac{5a^{m}b^{n}c}{-6a^{3}b^{4}c}\]
\[\frac{a^{x}b^{m}}{-4a^{m}b^{n}}\]
\[\frac{-3m^{a}n^{x}x^{3}}{-5m^{x}n^{2}x^{3}}\]
\[\frac{a^{m+3}}{a^{m+2}}\]
\[\frac{2x^{a+4}}{-x^{a+2}}\]
\[\frac{-3a^{m-2}}{-5a^{m-5}}\]
\[\frac{x^{2n+3}}{-4x^{n+4}}\]
\[\frac{-4a^{x-2}b^{n}}{-5a^{3}b^{2}}\]
\[\frac{-7x^{m+3}y^{m-1}}{-8x^{4}y^{2}}\]
\[\frac{5a^{2m-1}b^{x-3}}{-6a^{2m-2}b^{x-4}}\]
\[\frac{-4x^{n-1}y^{n+1}}{5x^{n-1}y^{n+1}}\]
\[\frac{a^{m+n}b^{x+n}}{a^{m}b^{a}}\]
\[\frac{-5ab^{2}c^{3}}{6a^{m}b^{n}c^{x}}\]
\[\frac{\dfrac{1}{2}x^{2}}{\dfrac{2}{3}}\]
\[\frac{-\dfrac{3}{5}a^{3}b}{-\dfrac{4}{5}a^{2}b}\]
\[\frac{\dfrac{2}{3}xy^{5}z^{3}}{-\dfrac{1}{6}z^{3}}\]
\[\frac{-\dfrac{7}{8}a^{m}b^{n}}{-\dfrac{3}{4}ab^{2}}\]
\[\frac{-\dfrac{2}{9}x^{4}y^{5}}{-2}\]
\[\frac{3m^{4}n^{5}p^{6}}{-\dfrac{1}{3}m^{4}np^{5}}\]
\[\frac{-\dfrac{7}{8}a^{2}b^{5}c^{6}}{-\dfrac{5}{2}ab^{5}c^{6}}\]
\[\frac{\dfrac{2}{3}a^{x}b^{m}}{-\dfrac{3}{5}ab^{2}}\]
\[\frac{-\dfrac{3}{8}c^{3}d^{5}}{\dfrac{3}{4}d^{x}}\]
\[\frac{\dfrac{3}{4}a^{m}b^{n}}{-\dfrac{3}{2}}b^{3}\]
\[\frac{-2a^{x+4}b^{m-3}}{-\dfrac{1}{2}a^{4}b^{3}}\]
\[\frac{-\dfrac{1}{15}a^{x-3}b^{m+5}c^{2}}{\dfrac{3}{5}a^{x-4}b^{m-1}}\]
5. División
5.2. División de un polinomio por un monomio
5.2. División de un polinomio por un monomio
Para dividir un polinomio por un monomio, se divide cada uno de los términos del polinomio entre el monomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos, y se separan los cocientes con sus propios signos.
Se sabe por suma de fracciones homogéneas que:
\[\frac{a}{m}+\frac{b}{m}-\frac{c}{m}=\frac{a+b-c}{m}\]
Por lo cual, puede leerse esta igualdad de derecha a izquierda. Esta es la ley distributiva de la división:
\[\frac{a+b-c}{m}=\frac{a}{m}+\frac{b}{m}-\frac{c}{m}\]
Ejemplos
\[\frac{3a^{3}-6a^{2}b+9ab^{2}}{3a}\]
Se divide el primer término del polinomio por el monomio: \(3a^{3} \div 3a=a^{2}\)
Se divide el segundo término del polinomio por el monomio: \(-6a^{2}b \div 3a=-2ab\)
Se divide el tercer término del polinomio por el monomio: \(9ab^{2} \div 3a=3b^{2}\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\frac{3a^{3}-6a^{2}b+9ab^{2}}{3a}=a^{2}-2ab+3b^{2}\]
\[\frac{2a^{x}b^{m}-6a^{x+1}b^{m-1}-3a^{x+2}b^{m-2}}{-2a^{3}b^{4}}\]
\[\begin{aligned} & =\frac{2a^{x}b^{m}}{-2a^{3}b^{4}}-\frac{6a^{x+1}b^{m-1}}{-2a^{3}b^{4}}-\frac{3a^{x+2}b^{m-2}}{-2a^{3}b^{4}} \\ \\ &=-a^{x-3}b^{m-4}+3a^{x-2}b^{m-5}+\frac{3}{2}a^{x-1}b^{m-6} \end{aligned}\]
\[\frac{\frac{3}{4}x^{3}y-\frac{2}{3}x^{2}y^{2}+\frac{5}{6}xy^{3}-\frac{1}{2}y^{4}}{\frac{5}{6}y}\]
\[\begin{aligned} & =\frac{\frac{3}{4}x^{3}y}{\frac{5}{6}y}-\frac{\frac{2}{3}x^{2}y^{2}}{\frac{5}{6}y}+\frac{\frac{5}{6}xy^{3}}{\frac{5}{6}y}-\frac{\frac{1}{2}y^{4}}{\frac{5}{6}y} \\ \\ &=\frac{18}{20}x^{3}-\frac{12}{15}x^{2}y+\frac{30}{30}xy^{2}-\frac{6}{10}y^{3} \\ \\ &=\frac{9}{10}x^{3}-\frac{4}{5}x^{2}y+xy^{2}-\frac{3}{5}y^{3} \end{aligned}\]
Videos explicativos
Ejercicios
Resuelve las siguientes divisiones:
\[\frac{a^{2}-ab}{a}\]
\[\frac{3x^{2}y^{3}-5a^{2}x^{4}}{-3x^{2}}\]
\[\frac{3a^{3}-5ab^{2}-6a^{2}b^{3}}{-2a}\]
\[\frac{x^{3}-4x^{2}+x}{x}\]
\[\frac{4x^{8}-10x^{6}-5x^{4}}{2x^{3}}\]
\[\frac{6m^{3}-8m^{2}n+20mn^{2}}{-2m}\]
\[\frac{6a^{8}b^{8}-3a^{6}b^{6}-a^{2}b^{3}}{3a^{2}b^{3}}\]
\[\frac{x^{4}-5x^{3}-10x^{2}+15x}{-5x}\]
\[\frac{8m^{9}n^{2}-10m^{7}n^{4}-20m^{5}n^{6}+12m^{3}n^{8}}{2m^{2}}\]
\[\frac{a^{x}+a^{m-1}}{a^{2}}\]
\[\frac{2a^{m}-3a^{m+2}+6a^{m+4}}{-3a^{3}}\]
\[\frac{a^{m}b^{n}+a^{m-1}b^{n+2}-a^{m-2}b^{n+4}}{a^{2}b^{3}}\]
\[\frac{x^{m+2}-5x^{m}+6x^{m+1}-x^{m-1}}{x^{m-2}}\]
\[\frac{4a^{x+4}b^{m-1}-6a^{x+3}b^{m-2}+8a^{x+2}b^{m-3}}{-2a^{x+2}b^{m-4}}\]
\[\frac{\dfrac{1}{2}x^{2}-\dfrac{2}{3}x}{\dfrac{2}{3}x}\]
\[\frac{\dfrac{1}{3}a^{3}-\dfrac{3}{5}a^{2}+\dfrac{1}{4}a}{-\dfrac{3}{5}}\]
\[\frac{\dfrac{1}{4}m^{4}-\dfrac{2}{3}m^{3}n+\dfrac{3}{8}m^{2}n^{2}}{\dfrac{1}{4}m^{2}}\]
\[\frac{\dfrac{2}{3}x^{4}y^{3}-\dfrac{1}{5}x^{3}y^{4}+\dfrac{1}{4}x^{2}y^{5}-xy^{6}}{\dfrac{1}{5}xy^{3}}\]
\[\frac{\dfrac{2}{5}a^{5}-\dfrac{1}{3}a^{3}b^{3}-ab^{5}}{5a}\]
\[\frac{\dfrac{1}{3}a^{m}+\dfrac{1}{4}a^{m-1}}{\dfrac{1}{2}a}\]
\[\frac{\dfrac{2}{3}a^{x+1}-\dfrac{1}{4}a^{x-1}-\dfrac{2}{5}a^{x}}{\dfrac{1}{6}a^{x-2}}\]
\[\frac{-\dfrac{3}{4}a^{n-1}x^{m+2}+\dfrac{1}{8}a^{n}x^{m+1}-\dfrac{2}{3}a^{n+1}x^{m}}{-\dfrac{2}{5}a^{3}x^{2}}\]
5. División
5.3. División de polinomios
5.3. División de polinomios
Para dividir dos polinomios se realizan los siguientes pasos:
Reglas para dividir dos polinomios
1. Ordenar el dividendo y el divisor con relación a una misma letra.
2. Dividir el primer término del dividendo entre el primero del divisor, el resultado será el primer término del cociente.
3. Multiplicar este primer término del cociente por todo el divisor. Luego, este producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante. Si algún término de este producto no tiene término semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor.
4. Dividir el primer término del resto entre el primer término del divisor, el resultado será el segundo término del cociente.
5. Multiplicar este segundo término del cociente por todo el divisor. Luego, este producto se resta del dividendo, cambiando los signos.
6. Dividir el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores; y asi sucesivamente hasta que el residuo sea cero o de grado menor al divisor.
Ejemplos
\[\frac{3x^{2}+2x-8}{x+2}\]
\[ \frac{3x^{2}+2x-8}{x+2}=3x-4 \]
\[\frac{28x^{2}-30y^{2}-11xy}{4x-5y}\]
\[ \frac{28x^{2}-11xy-30y^{2}}{4x-5y}=7x+6y \]
\[\frac{2x^{3}-2-4x}{2+2x}\]
\[ \frac{2x^{3}-4x-2}{2+2x}=x^{2}-x-1 \]
\[\frac{3a^{5}+10a^{3}b^{2}+64a^{2}b^{3}-21a^{4}b+32ab^{4}}{a^{3}-4ab^{2}-5a^{2}b}\]
\[ \frac{3a^{5}+10a^{3}b^{2}+64a^{2}b^{3}-21a^{4}b+32ab^{4}}{a^{3}-4ab^{2}-5a^{2}b}=3a^{2}-6ab-8b^{2} \]
\[\frac{x^{12}+x^{6}y^{6}-x^{8}y^{4}-x^{2}y^{10}}{x^{8}+x^{6}y^{2}-x^{4}y^{4}-x^{2}y^{6}}\]
\[ \frac{x^{12}-x^{8}y^{4}+x^{6}y^{6}-x^{2}y^{10}}{x^{8}+x^{6}y^{2}-x^{4}y^{4}-x^{2}y^{6}}=x^{4}-x^{2}y^{2}+y^{4} \]
\[\frac{11a^{3}-3a^{5}-46a^{2}+32}{8-3a^{2}-6a}\]
\[ \frac{-3a^{5}+11a^{3}-46a^{2}+32}{-3a^{2}-6a+8}=a^{3}-2a^{2}+3a+4 \]
Videos explicativos
Ejercicios
Resuelve las siguientes divisiones:
\[\frac{a^{2}+2a-3}{a+3}\]
\[\frac{a^{2}-2a-3}{a+1}\]
\[\frac{x^{2}-20+x}{x+5}\]
\[\frac{m^{2}-11m+30}{m-6}\]
\[\frac{x^{2}+15-8x}{3-x}\]
\[\frac{6+a^{2}+5a}{a+2}\]
\[\frac{6x^{2}-xy-2y^{2}}{y+2x}\]
\[\frac{-15x^{2}-8y^{2}+22xy}{2y-3x}\]
\[\frac{5a^{2}+8ab-21b^{2}}{a+3b}\]
\[\frac{14x^{2}-12+22x}{7x-3}\]
\[\frac{-8a^{2}+12b-4b^{2}}{b-a}\]
\[\frac{5n^{2}-11mn+6m^{2}}{m-n}\]
\[\frac{32n^{2}-54m^{2}+12mn}{8n-9m}\]
\[\frac{-14y^{2}+33+71y}{-3-7y}\]
\[\frac{x^{3}-y^{3}}{x-y}\]
\[\frac{a^{3}+3ab^{2}-3a^{2}b-b^{3}}{a-b}\]
\[\frac{x^{4}-9x^{2}+3+x}{x+3}\]
\[\frac{a^{4}+a}{a+1}\]
\[\frac{m^{6}-n^{6}}{m^{2}-n^{2}}\]
\[\frac{2x^{4}-x^{3}-3+7x}{2x+3}\]
\[\frac{3y^{5}+5y^{2}-12y+10}{y^{2}+2}\]
\[\frac{am^{4}-am-2a}{am+a}\]
\[\frac{12a^{3}+33ab^{2}-35a^{2}b-10b^{3}}{4a-5b}\]
\[\frac{15m^{5}-9m^{3}n^{2}-5m^{4}n+3m^{2}n^{3}+3mn^{4}-n^{5}}{3m-n}\]
